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R-L-C Circuit Analysis
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Objective: To study the behaviour of a series R-L-C circuit.

 

                            Fig. 1. Sinusoidal input to Series RLC circuit.

 With reference to Fig.1., the application of Kirchoff's law results,

                       «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»I«/mi»«mo»*«/mo»«mi»R«/mi»«mo»+«/mo»«mi»j«/mi»«mo»*«/mo»«mi»I«/mi»«mo»*«/mo»«msub»«mi»X«/mi»«mi»L«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mi»I«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»j«/mi»«mi»§#969;«/mi»«mo»*«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»,«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»W«/mi»«mi»h«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mi»R«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»I«/mi»«mo»*«/mo»«mi»R«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mi»L«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»j«/mi»«mi»I«/mi»«mo»*«/mo»«msub»«mi»X«/mi»«mi»L«/mi»«/msub»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mi»C«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»I«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»j«/mi»«mi»§#969;«/mi»«mo»*«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»I«/mi»«mo»[«/mo»«mi»R«/mi»«mo»+«/mo»«mi»j«/mi»«mi»§#969;«/mi»«mi»L«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»j«/mi»«mi»§#969;«/mi»«mo»*«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»]«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»-«/mo»«mo»-«/mo»«mo»-«/mo»«mo»-«/mo»«mo»-«/mo»«mo»-«/mo»«mo»-«/mo»«mo»-«/mo»«mo»-«/mo»«mo»-«/mo»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»L«/mi»«mi»e«/mi»«mi»t«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Z«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»b«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»t«/mi»«mi»h«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»n«/mi»«mi»e«/mi»«mi»t«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»i«/mi»«mi»m«/mi»«mi»p«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»c«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»o«/mi»«mi»f«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»t«/mi»«mi»h«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»r«/mi»«mi»c«/mi»«mi»u«/mi»«mi»i«/mi»«mi»t«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»t«/mi»«mi»h«/mi»«mi»i«/mi»«mi»s«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»g«/mi»«mi»i«/mi»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«mi»m«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mi»q«/mi»«mi»u«/mi»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»I«/mi»«mi»Z«/mi»«mo»=«/mo»«mi»I«/mi»«mfenced close=¨§nbsp;¨ open=¨[¨»«mrow»«mi»R«/mi»«mo»+«/mo»«mi»j«/mi»«mi»§#969;«/mi»«mi»L«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»j«/mi»«mi»§#969;«/mi»«mo»*«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»]«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Z«/mi»«mo»=«/mo»«mi»R«/mi»«mo»+«/mo»«mi»j«/mi»«mo»(«/mo»«mi»§#969;«/mi»«mi»L«/mi»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»§#969;«/mi»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»§#969;«/mi»«mi»L«/mi»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»§#969;«/mi»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8736;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»tan«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»§#969;«/mi»«mi»L«/mi»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»§#969;«/mi»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»)«/mo»«/mrow»«mi»R«/mi»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»-«/mo»«mo»-«/mo»«mo»-«/mo»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

     Equation (2) givesf the complex impedance (Z) which indicates that the circuit will become inductive if  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»§#969;«/mi»«mi»L«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»§#969;«/mi»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» and then the sign of the angle of Z is positive. On the other hand , for  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»§#969;«/mi»«mi»L«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»§#969;«/mi»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» , the circuit will become capacitive and the sign of the angle of Z is negative.

Phasor Diagram :

                                 Fig. 2. Inductive Circuit

 Fig. 3. Capacitive Circuit

 

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